哥德巴赫猜想的分析­­­­—归纳法证明

广东省惠州市      刘鸿高

关键词：哥德巴赫猜想，分析——归纳法，四条特殊规律，一条一般规律，一般证明，完全成立。

摘要：本文运用分析—归纳法，系统地对大于2的偶数的（1+1）解进行了充分的分析，归纳出四条具体的特殊规律和一条总体的一般规律，一般地证明了哥德巴赫猜想完全成立。

一、  序言

哥德巴赫猜想是数论的著名难题之一。由于某位数学家著作的影响，哥德巴赫猜想在我国长期被不完整不准确地理解。该位数学家在著作中“提示：凡大于4之偶数必为二奇素数之和，此乃著名的Goldbach（哥德巴赫）问题。”因此，他的门生把他的话当成标准的定义，把“任何≥6的偶数都是两个奇素数之和”叫做哥德巴赫猜想[1]。这是既不完整也不准确的。该位数学家紧接着上面那句话还有两句很特别的话：“若此定理（未得到证明怎么就能称为定理而作为论据？这是“窃取论点”的逻辑错误。）真实，则吾人可以证明：凡大于7之奇数必为三个奇素数之和。因若n为大于7之奇数，则n-3乃大于4的偶数，故n-3=p₁+p₂,即n=3+p₁+p₂。”由于该位数学家后面这两句话，虽然它们显然是在一个大假设的前提下、借“吾人”的名义被提出来的，他的门生在著作中有时又给哥德巴赫猜想增加一个内容：“任何≥9 的奇数都是三个奇素数之和。”[3]这样，哥德巴赫猜想的内容完整了，但还是不准确的。哥德巴赫于1742年（当时由于1也规定为素数）通过大量的试算，提出两个命题：（1）每个偶数都是两个素数之和；（2）每个大于1的奇数都是三个素数之和。他由于不能证明，称两个命题为猜想。他写信给当时的数学家欧勒（L.Euler），请他对这个猜想从理论上给予证明。欧勒认为这个猜想是真实的，但也无法做出证明。从此，这个猜想便成为数论最著名的难题之一。后来，国际数学家大会为了维持因式分解定理的唯一性，决定1不是素数也不是合数，因而哥德巴赫猜想的两个命题应该相应改成下列形式：（1）每个大于2的偶数都是两个素数之和；（2）每个大于5的奇数都是三个素数之和。两个命题统称为哥德巴赫猜想。第一个命题又叫做偶数哥德巴赫猜想，简称为（1+1）；第二个命题又称为奇数哥德巴赫猜想 ，简称为（1+1+1）。据报道说，有的人对一个一个的偶数进行了验算，一直到4×10¹⁴的数，都说明命题（1）成立。但是，要对命题（1）从理论上进行一般的证明，直到二十世纪初期还无从下手。到了二十世纪二十年代以后，数学家们才开辟出两条探索的路线：1920年挪威数学家布伦（Brum）运用筛法，得出了每一个大偶数都是两个“素因子都不超过九个的”数之和的结果，开辟了（9+9）~（7+7）~（6+6）~（5+5）~（4+4）~（3+3）~（2+3）的探索路线；1948年匈牙利数学家兰恩易（A.Renyi）运用指数和的方法，证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子不超过六个的”数之和，开辟了（1+6）~（1+5）~（1+4）~（1+3）~（1+2）的探索路线。两条探索路线的特点是相同的：（1）两条探索路线都采用间接证明的方法；（2）两条探索路线都是以大偶数为前提的， 认为大偶数的问题解决了，不管大偶数之前有多少非大偶数都是可以验证的，哪怕证明大偶数的结果不符合非大偶数也无关紧要；（3）两条探索路线的两个或一个加数都是合数，都要求在间接证明的过程中，把这两个或一个合数变成只有一个素数因子的素数。几十年来，我国和外国的许多数学家在两条探索路线上耗费了大量的时间和精力，可是根本解决不了问题。两条探索路线采用间接证明的方法是可以的，正如登山可以走迂回的路线一样，只要证明人不怕浪费时间和精力。不过它们毕竟都只是充满着失败可能性的探索路线，而决不是肯定可以达到目的的正确道路。它们以大偶数为前提也无可非议，虽然大偶数就是想象的充分大的偶数，是一个抽象的偶数概念。它没有确定的界限，比10的几十万次方还要大，比任何一个特定的偶数都要大，要多大就有多大。两条探索路线采取由一般到特殊、由抽象到具体、由大到小的论证，也可以理解为一种论证方法，虽然它们的做法与人类生活经验背道而驰。但是，在两条路线上探索的人认为大偶数的问题解决了，而不管大偶数之前有多少非大偶数都是可以验证的，那就不一定了，因为大偶数之前实际上存在着一个无穷的偶数数列。他们认为证明大偶数的结果不符合非大偶数也无关紧要，那就是根本错误的。例如（1+2）对于大偶数成立，但显然对于非大偶数4和10就不成立，不过4和10的（1+1）解很容易分别求得；那么（1+2）对于一个特定的非大偶数2⁵⁰⁰⁰⁰是否成立？它的（1+2）解是什么？它的（1+1）解又是什么？至于两条探索路线都要求在间接证明的过程中，把两个或一个合数变成一个素数是根本不可能的。我们知道，合数就是有两个或两个以上素数因子的数，而素数就是只有一个素数因子的数。因此，（9+9）证明到（2+3），甚至（2+3）再证明到（2+2），或者（1+6）证明到（1+2），都还没有改变两个或一个合数的性质，只是在形式上减少一个或几个素数因子而已。但是，（2+2）或（1+2）要证明到（1+1）时，两个或一个合数就要改变成素数了。这就是说，假如以（1+6）为起点的探索路线的证明行得通，则有下列关系式：

一个大偶数=（1+6）=（1+5）=（1+4）=（1+3）=（1+2）= （1+1）

　　每个数用不名数的数字表示，这是一个数字计算式，看不出会有什么问题。每个数按照原义用名数表示，前面五个等式也看不出会有什么问题；但最后一个等式便变成了一个数理逻辑悖论等式：  

        一个奇素数+一个有两个奇素数因子的合数= 一个奇素数+一个奇素数                                                            

为了突出上式各个数的本质关系，把等号两边各个数的修饰语去掉，得     

  素数+合数=素数+素数   

假如以（9+9）为起点的探索路线的证明也行得通，结果也是一样，只是悖论更加突出：   

                    合数+合数=素数+素数 

两式都表明，合数就是素数，素数也就是合数，合数与素数就没有什么区别了。我们知道，自然数除了1既不是素数也不是合数（也可以说1既是素数也是合数）以外，不是素数，就是合数。这正如人除了两性人以外，不是男人，就是女人。如果两性人比喻1，男人比喻素数，女人比喻合数，上面二式便变成

                     男人+女人=男人+男人    

以及                     女人+女人=男人+男人

这样一来，女人就是男人，男人也就是女人，女人与男人就没有什么区别了。这样的数理逻辑错误对小学生来说也是一目了然的。这个悖论还要用高深的数学理论去证明，人类不是在开自己的玩笑吗？（1+2）的研究成果并不是像有的人所说的那样距离（1+1）只有一步之遥了，而是说明以（1+6）为起点的探索路线已经走到了绝路的尽头，不能再前进一步了。以（9+9）为起点的探索路线还没有走到绝路的尽头，还有一步（2+2）可走，如果有人硬要去浪费生命的话。          

哥德巴赫猜想提出的是一般形式的问题，证明它就必须把握>2的偶数的（1+1）解的发展规律。我们证明哥德巴赫猜想时，不能运用以前的老方法，而必须创造出新的证明方法。本文采用分析——归纳法（也可以叫做趋势分析法），系统地对大于2的偶数的（1+1）解进行了充分的分析，归纳出四条具体的特殊规律，最后综合出一条总体的一般规律，从而一般地证明了哥德巴赫猜想完全成立。

二、偶数哥德巴赫猜想的证明

   偶数哥德巴赫猜想：每个大于2 的偶数都是两个素数之和。

为了把握大于2的偶数的（1+1）解的发展规律，我们从已知到未知、从小到大、从具体到一般地，对大于2的偶数的（1+1）解进行下列系统的考察。为了便于考察和分析，我们设2N为大于2的偶数，（1+1）为2N偶数的（1+1）解，л（1+1）为2N偶数的（1+1）解的个数。

（一）2N=4～100的（1+1）解的详细考察，结果见表1。

（二）2N=100～1000的（1+1）解的一般考察，结果见表2。

（三）2N=1000～5000的（1+1）解的一般考察，结果见表3。

 从表1至表3的资料我们可以看出，大于2的偶数的（1+1）解有下列四条具体的特殊规律：

1、偶素数2只能构成偶数4的（1+1）解：4=2+2。这是唯一的。偶素数2不能构成>4的偶数的（1+1）解。>4的偶数的（1+1）解都只能由奇素数构成。

2、设N等于素数P，则2N偶数即为2P型偶数。任何素数P都可以构成2P型偶数。所有2P型偶数都有一个相等素数的（1+1）解：2N=2P=P+P。2P型偶数4和6都只有一个相等素数的（1+1）解。>6的2P型偶数，除了一个相等素数的（1+1）解以外，还有一个或一个以上的不相等素数的（1+1）解。

3、设P₁和P₂为两个不相等的奇素数，且P₂>P₁,α为一个正整数,则P₁和P₂在>6 的偶数的不相等素数的（1+1）解2N= P₁+P₂中，有下列关系:

      P₁=N-α

      P₂=N+α

P₁和P₂以2N偶数的中数N为中心相对称, α为对称距。如果N为偶数,则α为奇数;如果N为奇数,则α为偶数。因此，P₁与P₂又有“偶心奇对称”和“奇心偶对称”的规律。构成>6的偶数的不相等素数的（1+1）解的两个素数P₁和P₂，都是以N为对称中心的素数对。运用对称素数对的存在，我们就可以运用解二元一次不定方程的方法，求解>6的2N偶数的不相等素数的（1+1）解。有多少个以N为对称中心的素数对存在，2N偶数就有多少个不相等素数的（1+1）解。>6的一定偶数的不相等素数的（1+1）解的求解步骤如下：

　　（1） 把2N偶数之内的奇素数列出；
（2）把[2，2N]区间分为[2，N]区间和[N，2N]区间；
（3）把[2，N]区间内的奇素数代入P₂=2N-P₁式的P₁，看P₂是否存在。P₂如果存在，则与P₁组成一个对称素数对，2N得到一个（1+1）解；P₂如果不存在，则P₁不能组成对称素数对，舍去；如此继续进行下去，直至把全部P₁-P₂对称素数对求出。或者反过来，把[N，2N]区间的素数代入P₁=2N-P₂式的P₂，看P₁是否存在，找出全部P₁-P₂对称素数对，从而求出2N偶数的不相等素数的全部（1+1）解。实际上2P型偶数的相等素数的（1+1）解，只是2N偶数的不相等素数的（1+1）解的特殊形式（P₁=P₂，α=0），可以统一求出。

4、对于大于2的偶数，仅仅4、6、8和12四个偶数，它们每个只有一个（1+1）解，其它偶数都有两个或两个以上的（1+1）解。（1+1）解的个数，在2N=4～100时为1～9个，在2N=100～1000时为6～48个，在2N=1000～5000时为30～104个，局部虽然在一定范围内有不规则的变化，但总的发展趋势是：随着2N偶数的逐渐增大，2N偶数的（1+1）解的个数迅速增加。因此，只要大于2 的小偶数（如≤12）有（1+1）解，较大的偶数（如≥14）都至少有两个或两个以上的（1+1）解，而且随着偶数的增大，偶数的（1+1）解的个数总的发展趋势是不断增多。

综合上述2N偶数的（1+1）解的四条具体的特殊规律，我们可以得出一条总体的一般规律：每个大于2的偶数至少有一个（1+1）解。因此，偶数哥德巴赫猜想得到了证明：

         2N=P₁+P₂，P₁≤P₂.

        三、奇数哥德巴赫猜想的证明

奇数哥德巴赫猜想 ：每个大于5的奇数都是三个素数之和。

证明：奇数哥德巴赫猜想实际上是偶数哥德巴赫猜想的推论，所以后者得到了证明，则前者容易证明：设奇数M大于5，q为素数，M-2>q>2，则M-q为大于2的偶数。因此，我们有

M-q=P₁+P₂, P₁≤P₂,

即         M=P₁+P₂+q.

当M大于7时，M都有两个或两个以上的（1+1+1）解。M越大，解越多。奇数哥德巴赫猜想得到了证明。

四、结论

  本文系统地从已知到未知、从小到大、从具体到一般地，对大于2的偶数的（1+1）解进行了充分的分析，归纳出2N偶数的（1+1）解的四条具体的特殊规律，最后综合出一条总体的一般规律：每个大于2的偶数至少有一个（1+1）解。因此，我们一般地证明了“每个大于2的偶数都是两个素数之和”：

                       2N=P₁+P₂，P₁≤P₂.

根据偶数哥德巴赫猜想的证明，“每个大于5的奇数都是三个素数之和”也得到了证明：设M为大于5的奇数，q为素数，M-2>q>2,则M-q为大于2的偶数。因此，我们有

M-q=P₁+P₂,P₁≤P₂                      

即          M=P₁+P₂+q

作者一般地证明了哥德巴赫猜想完全成立。

参考文献：

[1] 徐迟，哥德巴赫猜想，人民文学，北京，1977年12期。

[2] 华罗庚，数论导引，北京，科学出版社，1979，88页。

[3] 徐本顺  解恩泽，数学猜想集，长沙，湖南科学技术出版社，1998.11，131～133页。

　1978年6月于湖南省湘潭市一稿

2004年8月于广东省惠州市修订

4～100的（1＋1）解记录表     表1     100～1000的（1＋1）解记录表

表2