1 问题的提出

Cauchy积分定理对于函数论的建立是特别重要的，在复平面C内对Cauchy积分定理成立的区域，文献[1]用了拓扑观点来描述，建立了函数论和平面拓扑学之间的关系，在扩充复平面C。上，研究Cauchy积分定理和Cauchy积分公式和改进形式和计算方法，是学术意义和应用价值的。

2 定义和引理

设点为函数f(z)在C。上的单值性孤立奇点，则

(1)

C₀和负幂项为正则部分，正幂项为主要部分。如果（1）式没有。主要部分，那么对，我们便遇到f（z）在点的商，差和可微性都没有定义，不过，只要取C₀作为函数f(z)在无穷远点的值，正则部分在点就是解析的。

定义：设（1）式没有主要部分，如果f()=C₀(C₀包含0)，那么，我们就称函数f(z)d 在无穷远点解析。

引理：设C是复平面C内的一条闭围线，C的外部为区域D，若函数f(z)和zf(z)都在D内解析，且C-1≠0，则

1）limzf(z)=C-1(C-1≠0). 2)limf(z)=0 (2)

这是，C-1是（1）式的罗朗系数。

证1）因f(z)在D内解析，故f(z)在点解析，根据定义，（1）式为

f(z)=与 （3）

又因zf(z)在D内解析，故（3）式的后式没有主要部分，得

取极限，证得 limsf(z)=C-1(C-1≠0) （4）

证2）由于函数f(z)在D内解析，我们断言：C0=0，否则，如果C0≠0，则limzf(z)=limc0z=

但这与（4）式相矛盾，取极限，证得limf(z)=0

3 定理及其证明

定理1：（Cauchy积分定理）设C是扩充复平面C上的一条闭曲线，C的外部为单边通区域D（含点），若函数f(z)在D内解析，F是D内的任一条闭围线，则 （5）

这里，F-是绕点的正方向，C-1是（1）式的罗朗系数。

证 于D（含点）内，设任一条闭围线F包围C及其内部。因函数f(z)在点解析，故根据定义f()=C₀,点就是f(z)的可去奇点，设R充分大，使L：|z|=R包围F及其内部，于是（1）式化为

f(z)=（0＜R＜|Z|＜＋＝（6）

且（容易证明）（6）式在L上（关于Z）一致收敛，逐项积分，得

。因函数f(z)在L+F所界闭域上解析，根据复平面C内的复围线的Cauchy积分定理，，证得

。

其中，F是绕点的正方向，C-1是（1）式的罗朗系数。

定理2：（Cauchy积分公式）设扩充复平面C上的区域D（含点）的边界是C-=C1-+C2-+……+，f(z)在D内解析并连续到C-，则

公式1：当limf(z)=C0(C₀≠0)时

（7）

（8）

这里，C-表示区域D的边界的正方向，C0是（1）式的罗朗系数，n为正整数，n=1时D为单连通区域，n＞1时D为多连通区域，

证公式1若任意固定,取充分大的R0，使F：|Z|=R＞R₀包围C_K（K=1，2…n）及其内部和Z，则f(z)在C-与F所围的区域G内解析，并连续到边界L=F+C1+C2+…Cn,根据复平面G内的Cauchy积分公式，得

，解出

（Z=G） （9）

令则在G内除点Z外解析，现以点Z为心，P＞0为半径作圆周r_p,使r_p及其内部均含于G，显然，在复围线所围成的区域内解析并连续到边界。根据复围线的Cauchy积分定理，知，即

（） （10）

因在Ck(k=1,2,…，n)所界闭域上解析，故式化为

（） （11）

又由假设limf(z)=C₀ (C₀≠0)，即充分大的R₀，当|z|=R＞R₀时，恒有

（12）

应用（11）、（12）式，估计

即，根据（9）式，证得（13）

若（）则

根据（9）式，得

根据（13）式证得（14）

其中，

结合（13）（14），依z在D内的任意性，证得（7）式成立，

证公式2 若，因zf(z)在D内解析，故由引理的2），得limf(z)=0，即充分大的R₀，当|z|R＞R₀时，恒有

|f(z)|＜

估计

即（16）

若， 则在G上解析，知（17）

结合（9）（16）（17）式，依Z在D内的任意性，证得（8）式成立，考虑：不把函数f(z)展成点的罗朗展式，建立Resf(z)的直接计算方法，

设f(z)在D（含点）内解析，则有f(z)=,取正函数m得

（18）

=