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数学基础问题实即"数学无限"问题，康托尔集合论是实无限观的产物，最新发现：实无限观的逻辑前提是穷竭观，然而穷竭观是错误的，因而实无限观也是错误的。自然数集N是穷竭观的产物，是集合论的演绎起点，因此，可以说数学基础理论从头到底。本文就此作适当的展开。
数数实践形成自然数概念，每一个具体数数过程都是有限的即有始有终的。在此基础上数学家们提出了一个理想化的概念，自然数序列1，2，3，……n,……它的逐项延伸永不停止，人们把这一延伸过程称为无限过程，并与具体数数的有限过程相区别，因为自然数序列有始无终，数学家们称它为生成中的无限，即潜无限。
在此基础上数学们又提出一个假设：无限延伸过程能够停止，从而得到全体自然数以及有全体自然数组成的集N，并称自然数集N为生成了无限即实无限。
以上是自然数集N的生成，在承认自然数集N生成的基础上，反过来可以设想从N中逐一取出1，2，3，……n,……的无限过程，能够穷竭所有自然数。数学家们的这种设想可以称为无限的生成与穷竭原则。皮亚诺归纳公理：设集M
N。
若（i）1 M；且（ii）若n M则n+1 M;则M=N。它的实质就是穷竭原则。
然而穷竭原则不是科学的：它不具有真实性即不符合实际，事实上全体自然数是写不完，得不到的�"永不停止"与"能够停止"不同一。因而违反形式逻辑同一律，所以不具有逻辑性，即不合乎逻辑。为了证实以上所述，可以编造如下无限性悖论：
命题（一）任一事物组都能用自然数编号。
命题（二）并非每一事物组都能编号。
证明 先把能编号的事物全部确定（A）。然后把能编号的事物组全部合并（B），从而得到一新的事物组，它与原先确定的能编号的每一个事物组都不相同，所以它是一个不能编号的事物组。
命题（一）与命题（二）矛盾
以上（A）和（B）都认定无限过程能够穷竭，所以穷竭原则导致逻辑矛盾。
再说有了穷竭原则就有了自然数集N，有了自然数集N就可以用它定义无限集，康托尔集合论是关于无限集的理论，它建立在自然数集N的基础上，所以它是不科学的。为此可以再编造一个如下的无限集悖论予以证明：
定义 能用自然数编号的无限集就是可列集。
由此可即得
定理1 集A是可列集，当且仅当A={a1,a2,a3,…an,……}。事实上，an的编码是n(n=1,2,3…)。在A={a1,a2,a3,…an,……}中，无限序列a1,a2,a3,…an,……必须停止，否则集A不能确定，故得
定理2 （穷竭定理）任一无限序列的延伸都能经无限步后停止。
定理3 （限制定理）任一无限集都是可列集。
证明 对任一无限集P的编号过程的每一步都是给一个元素编一个号码，这些步骤组成一无限序列，根据定理2，编号过程能停止。此时，P中所有元素都已编上号码，否则与"停止"一词矛盾。故本定理获证。
定理4 （反限制定理） 并非每一个无限集都是可列集。
证明 设集P={全体可列集}。则全体可列庥的并集与P中任一可列庥都不相等，因而不是可列集，它就是一个不是可列集的无限集。
定理3与定理4矛盾
以上说明穷竭原则，自然数集N，无限集等导致逻辑矛盾，它们都是错误的，这就是说数学基础理论从头错起。而且其错误的原因始终没有得到纠正，所以集合论从头错到底。具体说错误的穷竭原则始终在起作用。
事实上可列集的定义用了自然数集N与一一对应，实质就是用全体自然数进行编号，所以一一对应与穷竭观密切相关。从可列集扩展到不可列集，在证明连续统C={C|0≤C≤1}不可列时就采用了一一对应与反证法。再进一步，从集A扩展到集A的幂集，证明中同样用到一一对应与反证法，一一对应与反证法是集合论不断扩展的两根拐杖，超限基数序列和自然数序列一样无限延伸永不停止，集合论成了矛盾无处不在的一团乱麻。
另外错误的穷竭原则还影响到其它有关的数学分支如：微积分学，实变函数，数理逻辑……等等。
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