正弦定理与余弦定理综合应用题例析

内蒙古察右后旗 焦焕成

正弦定理和余弦定理在中学数学中有着广泛的应用。本文就以下几个方面的问题谈谈我个人看法：

一 判断三角形的形状

例1在，△ABC中，已知bcosA=acosB，试判断△ABC的形状。

分析解答：（一）根据余弦定理可知：

cosA=，cosB=

又∵在△ABC中，acosB=bcosA

∴a·=b·

化简，得a²=b²,∵a＞0,b＞0,∴a=b

所以△ABC是等腰三角形。

（二）由已知条件可知：，

根据正弦定理

得：

从而得到tgA=tgB

∵A,B不能同时为钝角

∴一定有cosA＞0，cosB＞0

那么，A，B都是锐角，

∴A=B

因此，△ABC是等腰三角形

（三）∵A，B都是锐角，作CD⊥AB，可得：AD=bcosA,BD=acosB,已知bcosA=acosB,

∴AD=BD,又∵CD⊥AB，∴a=b

因此，△ABC是等腰三角形。

例2，已知方程X²-axcosA+bcosB=0,两根之和等于两根之积，试判断△ABC的形状。

解析：由题意可知

在方程X²-axcosA+bcosB=0中，当△=（-acosA）²-4bcosB=a²cos²A-4bcosB≥0时，方程有两个实数根，设其为x¹和x²，根据根与系数的关系定理，有：

x¹+x²=-(-acosA)=acosA

x¹·x²=bcosB

又∵acosA=bcosB (已知x¹+x²= x¹·x²)

由余弦定理可知

cosA=

∴a·=b·

变形为a²(b²+c²-a²)=b²(a²+c²-b²)

b⁴-a⁴+a²c²-b²c²=0

分解因式（a²-b²）(c²-a²-b²)=0

若a²-b²=0,则a²=b²∵a＞0，b＞0∴a=b

若c²-a²-b²=0,则a²+b²=c²

故当a=b时，△ABC是等腰三角形

当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形。

应当特别指出，在解此题时，对已知方程的判别式△≥0这个条件不能忽视。否则当a=b＜4时，A=B=45°△是等腰三角形。

显然acosA=bcosBb也成立，

但△=a²cos²A-4bcosB=a²cos²A-4acosA=acosA(acosA-4)

∵a＜4 A=45°△=acosA(acosA-4) ＜0

这样原方程无解。可见，并不是任意的等腰三角形或直角三角形都满足题目的要求，只有满足△≥0时的等腰三角形或直角三角形才是我们所判断的结论。

二、实际问题的应用

以上例题均是把实际问题抽象。转化，归纳为解三角形问题。

例3，某通讯船在A处测得正东北9海里的C处有一渔船正沿东南75°的方向以每小时5海里的速度前进。通讯船以每小时7海里的速度沿直线方向航行与渔船相会，问通讯船沿什么方向航行？多长时间与渔船相会？

解析：如图1所示，设通讯船沿AB方向航行，经t小时在B处与渔船相会。在△ABC中，AB=7t，CB=5t，＜CAB=45-a，＜ACB=120°。

由正弦定理行：

sin＜CAB=

∴＜CAB=38°13′∴a=6°47′

由余弦定理，得：

（7t）²=(5t)²+9²-2·5t·9cos120°

解之，得，t1=3,t2=-(负值无意义舍去)

答：通讯船应沿东北6°47′的方向航行，经3小时与渔船相会。